Добрый день. Такого понятия как "квартиросьемщик" уже не существует. Если мама пропишется в другую квартиру, то она утратит право пользования этой и соответственно не сможет участвовать в ее приватизации. Приватизация будет происходить на всех зарегистрированных в квартире, т.е. на Вас одного.
После ее выписки можете обратиться в МФЦ и переоформить на свое имя лицевой счет по оплате коммунальных услуг, также, но необязательно, можете перезаключить договор социального найма.

Полностью согласен с Даниилом. Есть один нюанс. Если Ваш дом идет под реновацию, то вы вместе с мамой могли претендовать на две жилплощади... А после выписки она утратит эту возможность.

Даниил, спасибо.