Не исключена ситуация, что Вы не только не сможете зарегистрировать дом, но и что его придется сносить за свой счет как самовольную постройку по целому ряду оснований. Кроме того, есть ненулевой риск, что сделка по приобретению участка будет признана недействительной из-за неединства судьбы земельного участка и расположенного на нем строения. Поэтому каждый случай надо изучать конкретно.

Вопрос об оформлении/постановке на кад.учет и т.д. зависит от "законности" строения. Соответствует ли постройка градостроительным нормам? Не выступает ли за границы пятна застройки? Соответствует ли дом техническим требованиям капитального строения? Оформляли ли собственники разрешение на строительство или уведомление о строительстве (с 4 августа 2018)? Позволяет ли вообще назначение земли строить дом?
Если все ответы "да", то - да, сможете и без особых трудностей. Возьмете экспертизу (заказывается у кадастровых инженеров или архитектуре), правоустанавливающие документы на з/у, заявление - сдадите в МФЦ и все.
Если не все соответствует, то возможны разные нюансы, пути их решения и последствия.

Дом оформить сможете. Если он не значится в реестре неоформленных (не узаконенных) построек и построен в соответствии с нормами. Но затраты на разрешения, обследования, услуги кадастрового инженера будут. По поводу дачной амнистии , зависит от категории/вида разрешенного использования земельного участка.