Здравствуйте.
По детям только если использован маткапитал.
По соглашению - может, если супруг не исполнит обязательства.
По проверке - у банков это не проверка, а правовая экспертиза предоставленных документов. Проверка предполагает более углубленный анализ.

если соглашение о разделе имущества нотариальное или по суду и зарегистрировано в Росреестре, то никаких вопросов у жены в будущем не может быть. Дети тут вообще ни причем, так как они не собственники, если только на покупку этой квартиры или на погашение ипотеки не использовался материнский капитал

Дети - проверить не использовался ли маткапиталл. выписка детей и прописка по новому месту жительства - все это до сделки.Сумму, которую бывший муж должен по соглашению о разделе имущества - бывшая жена должна получить в рамках продажи этой 2ки. Любые заявления - что она в курсе продажи и не возражает - это ни о чем.Долг бывшего мужа от этого сам собой не выплатится.

Возможно, что основные риски кроются не в предстоящей сделке, не в разделе имущества с неисполненными обязательствами, не в детях и их правах, а в одной или нескольких более ранних сделках с квартирой. Оснований оспоримости и ничтожности сделок - несколько десятков, все надо проверять. Попросите юриста, с которым Вы планируете работать, до внесения аванса подтвердить, что ему для анализа будет достаточно "всех документов", которые Вам готов предоставить продавец.

Для, подстраховки попросить выписку с пфр о мат. капитале. Если сумма истрачена, попросить предоставить сведения в какую квартиру выделили доли.

Ситуация рабочая: сделав раздел при разводе, бывшие супруги установили режим раздельной собственности на имущество, поэтому, на мой взгляд, маловероятно, что бывшая сможет оспорить сделку. Согласна с Ириной Владимировной, что заявление от бывшей лишним не будет.
Дети влияют только, если на продаваемую квартиру был использован МК.

По детям: в Ваших интересах построить сделку так, чтобы дети гарантированно были не только выписаны, но и прописаны по новому месту жительства, причем обязательно с согласия матери эта перемена их места жительства должна происходить. Ну и маткапитал, как выше уже писали, надо проверить, не участвовал ли в покупке этой квартиры.
А в целях подстраховки от претензий жены, связанных с возможным неисполнением мужем денежной выплаты, являющейся условием соглашения о разделе имущества, я бы рекомендовала поставить условием сделки наличие нотариально удостоверенного заявления жены о том, что ей известно о предстоящей продаже этой квартиры и что она не возражает. Либо организовать расчеты по сделке так, чтобы жена прямо в процессе расчетов из стоимости квартиры получила причитающиеся ей по разделу имущества деньги.
Ну и, разумеется, необходимо сделать углубленную проверку истории квартиры на предмет юридических пороков, а также проверить финансовое положение продавца на отсутствие предпосылок к банкротству.
Доказательства добросовестности покупателя, к сожалению, очень мало кого спасли в суде - такова практика.
Подробнее можно проконсультироваться у любого специалиста форума - надо кликнуть на ФИО и выйти на его страницу - там под отзывами есть прямые контакты.

"В долях и совместной собственности их не было." - вот на это вам надо обратить внимание, не использовался ли маткап на этой двушке. если использовался, а доли детям не были выделены, тогда все можно очень легко оспорить.
в остальных случаях оспорить сделку жене будет сложновато. потребовать что-то с бывшего мужа - это да, но это уже будут его проблемы. а именно расторгнуть вашу с ним сделку, если соглашение о разделе должным образом оформлено и нотариально зарегистрировано, и если в егрн собственник уже муж - крайне маловероятно