Здравствуйте.
Раз Вы это выяснили только на этом этапе, то придётся платить - оплата кап. ремонта привязана к помещению, а не собственнику. Вместе с правом собственности Вы приобрели и задолженность.

Оплатить и попробовать взыскать в судебном порядке. Шансы 50/50, многое будет зависеть от текста формулировки в ДКП, ибо по акту передачи квартира принята, а значит нет претензий. А если акт приёма-передачи квартиры до сих пор не подписан, то шансы отсудить задолженность по капремонту стремительно вырастает в Вашу пользу, ближе к 100 процентам.

Добрый день, да, к сожалению долг переходит к Вам, это связано с тем, что текущие услуги оказываются непосредственно владельцу, а капремонт - это "услуга" в будущем.
Скорее всего у вас в договоре есть условие о том, что продавец обязуется передать объект без задолженностей. Попробуйте эту задолженность взыскать с продавца.

Здравствуйте. Капремонт должен, коммунальные платежи нет.

Здравствуйте. Закон не разделяет долги за бывшим и нынешним 
собственником по оплате взносов за капремонт. Оплата капремонта привязана к объекту, а не к собственнику. Неисполненные обязательства по уплате взносов предыдущим собственником должен возместить новый. Эта ответственность регулируется ч. 3 ст. 158 ЖК РФ — «Расходы собственников помещений в многоквартирном доме». Остальные долги, висящие на бывшем собственнике по оплате за ЖКУ, не переходят новому обладателю жилья. Попробуйте пообщаться по-хорошему с предыдущим владельцем, если не добьетесь успеха, значит придется оплатить, а потом можно взыскивать в судебном порядке.

к сожалению, должен. тут ничего не поделать. можно только попробовать воззвать к совести предыдущего собственника, который вам продал эту квартиру с долгом