Спасибо большое за ответ

Чтобы правильно разрешить эту неприятную ситуацию, вам нужно отделить некоторых мух от некоторых котлет.
Обязанность оплачивать коммунальные услуги у вас не как у наследника, а как у собственника. И никакие действия с отказом от наследства, взысканием долей наследства, долгов других наследников по унаследованному имуществу уже невозможны. Вообще факт наследования уже можете выкинуть из всех уравнений, он вас только путает. Вы с тетей два собственника и отношения будете выяснять как два собственника неважно каким образом полученной собственности.

Дальше. Продать свою долю вне зависимости от желания или нежелания тети вы можете, соблюдя некоторые формальности.
У тети как у сособственника по закону преимущественное право выкупа вашей доли. Поэтому прежде чем продавать долю третьим лицам, вы должны предложить ей купить вашу долю, по официальным каналам, чтобы потом смочь подтвердить сроки и факт доставки предложения. Если в течение месяца тетя не принимает ваше предложение, вы сможете продавать долю третьим лицам по цене не ниже той, что предложили тёте. Это будет абсолютно законно, и возразить ей будет нечего.

Далее. Отдельно продаваемая доля в квартире всегда стоит существенно меньше, чем соответствующая часть средств от продажи целой квартиры. (Если ваша цель просто развязаться с этим имуществом и погасить долги, дальше можно не читать). Если есть возможность и желание выйти из истории с большей прибылью, то надо донести до тёти тот факт, что если вы продадите свою долю на сторону, она потом за свою оставшуюся половину получит вовсе копейки.
Начните действовать, чтобы она поняла, что пустые разговоры закончились. То же оф.уведомление о предложении выкупа её доли с устным объяснением, что дальше будет продажа "профессиональным соседям", уже может отрезвить. А может и не отрезвить, если ей 6 лет было наплевать на это имущество. Хорошо бы на этом этапе подключить юридически грамотного и эмпатичного переговорщика, который убедит тётю, что так дела не делаются, а делаются вот так.

Далее. Долги по ЖКХ. Отсудить у нерадивого сособственника часть расходов теоретически можно, практически трудно. Учитывая другой город, еще и хлопотно. А пройдя через всё это и даже выиграв, можете выяснить, что с тёти взыскивать нечего, по суду деньги ваши, а она живет на прожиточный минимум и сбережений не имеет.
Принуждать продавать жильё её вряд ли станут, не те суммы.

Поэтому.
Гасить долги вам придется либо сейчас, чтобы продавать (долю или квартиру) без долгов, либо продавать с долгами и с соответствующей скидкой, оговаривая с покупателями обязательство погасить прежние долги и прописывая это в договоре с ними. Если ничего этого не сделать, все долги по ЖКХ кроме строки за кап.ремонт остаются на прежних собственниках, поэтому такой договор нужно составить грамотно, учитывая конкретный случай, лучше со специалистом

Я бы наверное оплатила половину долга. Далее разделила лицевые счета (что нужно было сделать еще раньше). Отправляете тете письмо, где просите выкупить 1/2 собственности в противном случае вы ее будете продавать третьим лицам.
А отказаться в пользу государства нет.